Granica Roche'a - wzór matematyczny odpowiedzią na przetrwanie? - 3 dni do peryhelium C/2012 S1 (ISON)

Zgodnie z opublikowaną w 1848 r. przez Édouarda Roche’a zasadą nazywaną „granicą Roche’a”, możemy przewidzieć możliwą destrukcję ciała o znacznie mniejszej masie pod wpływem sił pływowych podczas bliskiego przelotu obok znacznie większego ciała macierzystego, posługując się wzorem matematycznym

Zależność ta opisuje wpływ siły pływowej związanej z oddziaływaniem pola grawitacyjnego ciała macierzystego na mniejsze ciało przebywające w nieznacznym od niego dystansie. Oznaczona we wzorze literą „d” wartość granicy Roche’a wyrażana jest w [km] i oznacza minimalny dystans, jaki mniejsze ciało musi przekroczyć względem ciała macierzystego, by doszło do jego rozpadu w wyniku działania sił pływowych. 

W przypadku komet muskających Słońce przekraczanie granicy Roche’a jest przeważnie przyczyną destrukcji większych komet, które w przeciwieństwie do obiektów mniejszych, nie ulegają w tak dużym stopniu gwałtownemu procesowi sublimacji jądra i wynikającej stąd znacznej utraty masy. Najważniejszym parametrem mniejszego ciała, jaki musimy wziąć pod uwagę rozważając możliwość rozerwania komety przez siły pływowe, jest jego gęstość. Granica Roche’a dla danego ciała macierzystego nie jest bowiem stała i zależy również od jego satelity. Gęstość jąder typowych komet wynosi zwykle nieco mniej niż 1 g/cm³, więc w przypadku gdy przeważnie wartość tą dla komet opisujemy ułamkiem, możemy wyprowadzić prawidłowość odwrotnej proporcjonalności gęstości komety i wartości granicy Roche’a, mówiąc, że im mniejsza gęstość komety, tym większa wartość granicy Roche’a.  

Historia komet badanych niedawno pokazuje, że działalność sił pływowych na takie ciała może być bardzo spektakularna. Najlepszym tego przykładem była kometa Shoemaker-Levy 9, która w 1992 roku jako satelita Jowisza, przekroczyła granicę Roche’a dla tego układu i rozpadła się na 21 fragmentów, które od tego czasu przez jeszcze 2 lata krążyły wokół Jowisza. W lipcu 1994 zarejestrowano upadek łańcuszkowy pozostałości po komecie na powierzchnię planety, a jego skutki były widoczne jeszcze przez miesiące od zdarzenia. 

Podczas zbliżania do granicy Roche’a, mniejsze ciało stopniowo zaczyna się odkształcać i wydłużać horyzontalnie w kierunku ciała macierzystego. Jest to skutek działających na nie sił pływowych związanych z bliskością bardzo dużego ciała o ogromnym polu grawitacyjnym. Każde ciało ma pewną cechę opisującą jego wytrzymałość na rozciąganie, której nawet bardzo mała różnica może mieć diametralny wpływ na to w jakiej odległości od większego ciała znajdzie się granica, po przekroczeniu której nastąpi destrukcja małego obiektu.

W przypadku obiektów takich jak komety zakłada się, że wytrzymałość na rozciąganie jest bardzo ograniczona lub równa zeru. Z tego powodu kometa, na którą bardzo silnie oddziałuje grawitacja jej gwiazdy, może polegać wyłącznie na własnym, bardzo małym, polu grawitacyjnym, aby przezwyciężyć siłę zmuszającą ją do ekstremalnego rozciągnięcia i w końcu do rozczłonowania.

Jest pewien problem związany z ustalaniem wytrzymałości komet na rozciąganie – jest to cecha bardzo trudna do zbadania. Próbę jej oszacowania przeprowadzono w ramach misji Deep Impact, mającej na celu zbadanie jądra komety 9P/Tempel 1. Wyniki badań pozwalają twierdzić, że wytrzymałość na rozciąganie tej komety nie była równa zeru, głównie dzięki znajdującym się na niej złożom lodu.

Aby przekonać się w sposób teoretyczny, czy kometa C/2012 S1 (ISON) przetrwa peryhelium, używając wzoru zaproponowanego przez Roche’a, możemy obliczyć granicę, po której przekroczeniu ciało najprawdopodobniej ulegnie rozpadowi na skutek sił pływowych. 

Obecnie nie możemy w pełni wiarygodnie oszacować granicy Roche’a dla komety ISON, ponieważ nie jest znana jej szczegółowa charakterystyka fizyczna. Informacją, która jest niezbędna dla obliczenia tej wartości przy pomocy powyższego wzoru jest gęstość komety oznaczona symbolem ρc . Poniżej przedstawiony jest uproszczony wzór na granicę Roche’a dla komety C/2012 S1 z podstawionymi znanymi wartościami i pozostawioną niewiadomą.

Jednakże możliwe jest oszacowanie wartości tej granicy dla różnych możliwych gęstości komety, zgodnie z popularnymi gęstościami badanych wcześniej komet. Dzięki temu zyskamy obraz, jak bardzo prawdopodobne jest przekroczenie granicy Roche’a przez kometę ISON w trakcie jej peryhelium.

ρc	Wartość d [km]	Różnica d - peryhelium
0,1 gcm3	2 117 000	250 000
0,2 gcm3	1 681 000	- 186 000
0,3 gcm3	1 464 000	- 402 000
0,4 gcm3	1 332 000	- 534 000
0,5 gcm3	1 236 000	- 630 000
0,6 gcm3	1 166 000	- 700 000
0,7 gcm3	1 104 000	- 762 000

Jak widać w powyższej tabeli, spośród uznawanych za możliwe gęstości komety C/2012 S1 (ISON), tylko jedna wartość zakłada przekroczenie granicy Roche’a (0,1gcm3 ). Pozostałe gwarantują przejście komety zbliżone do tej granicy, lecz jej nienaruszające. Mimo wszystko niebezpiecznym może być zbliżenie do granicy - możemy więc powiedzieć, że w przypadku gęstości jądra komety poniżej 0,3 gcm3  , bardzo możliwym wydarzeniem jest nieprzetrwanie peryhelium przez C/2012 S1.

Zgodnie ze wzorem na granicę Roche’a możemy obliczyć gęstość jądra, jakie musi uzyskać kometa C/2012 S1 (ISON), by wartość granicy Roche’a była równa odległości komety od Słońca w czasie peryhelium. Aby tego dokonać należy przekształcić wzór zaproponowany przez Roche’a.

Zgodnie z przeprowadzonymi obliczeniami, wartość ρc  równoważąca wielkość granicy Roche’a z odległością komety od Słońca w trakcie peryhelium, wynosi:

ρc=0,145 g/cm3

Pomijając inne czynniki wpływające na zachowanie komety w trakcie przechodzenia przez peryhelium, zgodnie z powyższym wynikiem można powiedzieć, że obiekt mający gęstość mniejszą od tej nie przetrwa peryhelium, natomiast w przypadku większej gęstości – przetrwa.

Ważne, aby zaznaczyć, że przytoczony wzór na granicę Roche'a ma zastosowanie jedynie w przypadku ciał sztywnych o kulistym kształcie. 

Temat został wydzielony z posta "Kometa C/2012 S1 (ISON) właśnie zakończyła swój żywot?"